Update vom 17.04.2014: Es ist nicht mehr ganz so einfach, das Backup von einem aufs andere Handy zu übertragen, geht aber trotzdem mit etwas mehr Aufwand.
Die Sicherung macht WhatsApp eigentlich von alleine und alles landet im Ordner WhatsApp auf der Speicherkarte. Im Ordner Databases scheinen die Nachrichten an sich gespeichert zu sein (msgstore.db.crypt) und die Backups der letzten Tage (msgstore-2011-11-12.1.db.crypt). Der Ordner Media enthält die ganzen Dateien (z.B. Bilder), die per WhatsApp verschickt und empfangen wurden.
Um nun diese Sicherung auf einem anderen Handy wiederzustellen, darf auf dem neuen Handy erstmal kein WhatsApp installiert sein, da die Wiederherstellung nur während der Installation/Einrichtung von WhatsApp funktioniert. Falls auf dem anderen Handy also doch schon mal WhatsApp installiert war, muss der WhatsApp Ordner auf der Speicherkarte gelöscht werden. Damit gehen allerdings auch alle Nachrichten, Bilder, usw. verloren, die hier vorhanden sind; ein Merge ist also leider nicht möglich. Aber egal, jetzt den WhatsApp Ordner vom alten Handy einfach rüberkopieren und WhatsApp via Android Market neu installieren. Beim ersten Start fragt WhatsApp dann, ob die gefundene Sicherung wiederhergestellt werden soll. Je nach Anzahl der Nachrichten kann das einige Zeit dauern. Danach sollten alle Nachrichten zur Verfügung stehen.
Update vom 08.05.2013: Um nur einzelne Nachrichten zu extrahieren, ist evtl. das Tool WhatsApp Xtract einen Blick wert. Vermutlich ist das aber auch nicht für jeden eine Hilfe, da so einige Voraussetungen erfüllt sein müssen, z.B. eine Python Installation.
Update vom 17.07.2013: iPhone Besitzer dürften in Zukunft kein Problem mehr mit Backup/Restore haben, denn ein neues Update von WhatsApp bringt iCloud-Backup mit sich. Wie gut oder schlecht das funktioniert, wird sich zeigen müssen.